OPERASI HIMPUNAN DAN RELASI ANTAR HIMPUNAN

A.     OPERASI HIMPUNAN

               Dalam teori himpunan ada aturan atau hukum yang menghubungkan himpunan yang satu dengan yang lain. Ada tiga operasi himpunan, yaitu : operasi gabungan, operasi irisan, dan operasi selisih.

1.     OPERASI GABUNGAN (UNION)

Operasi Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A  atau anggota B  atau anggota keduanya, didefinisikan sebagai berikut :

A È B = { x | x Î A V x Î B }

Gb. 1.1, daerah yang diarsir merupakan himpunan gabungan.

Contoh     :

      a. Jika A = { 2,4,6,8,10 } dan

                    B = { 1,3,5,7,9 } ,maka

                          A È B = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }

2.     OPERASI IRISAN (INTERSECTION)

Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A Ç B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A  dan  B, dapat  didefinisikan sebagai berikut :

A ∩ B = {x| x   ϵ A  ʌ  x ϵ B } (Tanda ʌ artinya dan)

         Contoh :

·         Jika A = { p,q,r,s } dan B{ r,s,t},maka A ∩B = {r,s}. Perhatikan Gb.1.2

Gb.1.2

·         Jika H = { 2,4,6,8,10 },dan I = { 1,3,5 },maka H ∩ I =  Ø   = {   }

                        Perhatikan Gb.1.3      

 

                        Gb.1.3

3.     OPERASI SELISIH

Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A  yang bukan merupakan anggota himpunan  B. Jadi A – B berbeda dengan B – A. Perhatikan Gb. 1.4, daerah yang diarsir merupakan selisih A dan B. Dapat  didefinisikan sebagai berikut :

A – B = { x | x Î A ʌ x Ï B }

Gb. 1.4

Contoh :

·         Jika A = { a, b, c, d, e, f },dan B = { e, f, h }, maka A – B = { a, b, c, d }

·         Jika A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, dan B = { 1, 3, 7, 5 }, maka A – B = { 2, 4 }

·         Jika A = { 1, 2, 3 }, dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A – B = Ø

 

B.     ALJABAR HIMPUNAN

Himpunan di bawah operasi gabungan, irisan dan komplemen memenuhi berbagai hukum aljabar. Tabel berikut menampilkan hukum-hukum yang berlaku pada operasi himpunan tersebut.

Hukum Asosiatif	( A È B )  È C    =    A È ( B È C )	( A  Ç B ) Ç C   =    A Ç ( B Ç C )
Hukum Komutatif	A  È B  =   B  È A	A  Ç B  =  B Ç A
Hukum Distributif	A È ( B Ç C ) = ( A È B )  Ç (A È C )	A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È (A Ç C )
Hukum Involusi	(A’) ’  =  A
Hukum Idempoten	A  È A  =   A	A  Ç A  =  A
Hukum Identitas	A  È Æ  =   A	A  Ç  S  =  A
Hukum Komplemen	A  È A’ = S	A  Ç A’  =  Æ
Hukum de Morgan	( A È B ) ‘ =  A’  Ç B’	( A  Ç B )’ =  A’ È B’

C.    RELASI ANTAR HIMPUNAN

1. Kesamaan Himpunan

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota dari himpunan B dan setiap anggota B merupakan anggota dari himpunan A atau AÌ B dan B Ì A bisanya ditulis dengan A = B dibaca (A himpunan bagian dari B).

Contoh :

a.       A= {1,2,3,4,5}dan B = {3, 4, 5, 2,1}, maka himpunan A = himpunan B atau A = B, maka {1 , 2, 3, 4, 5}= i3, 4, 5, 2, 1}, karena setiap anggota A juga menjadi anggota B dan setiap anggota B juga menjadi anggota A.

b.      Jika A = {0, 1} dan B = {x | x (x-1) = 0}, maka, A = B.

c.       Jika A  = {3, 5, 8, 5 }dan B = {5, 3, I}, maka A = B.

Catatan

·         A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

·         A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka 4 ≠ B.

·         Notasi : A = B ↔ A Í B dan B Í A.

2. Himpunan Berpotongan

Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada anggota A yang menjadi anggota dari B.

a.       A = { 1, 2, 3, 4, 5 }dan B = { 0, 5, 6, 7, 8 }, maka himpunan A dan himpunan B berpotongan, karena ada anggota A menjadi anggota B yakni 5.

b.      Diketahui D = { x | x² + 3x + 2 = 0) dan E = { x | x² - x - 6 = 0 }, karena nilai D = { -1 , -2 }dan E = { -2, 3 },  jadi ada anggota D menjadi anggota E yakni -2, maka D berpotongan dengan E.

Dalam Diagram Venn untuk Contoh 1

A berpotongon B

Catatan

·         Dibeberapa buku himpunan yang berpotongan juga disebut himpunan bersekutu

3. Himpunan Lepas

Dikatakan dua Himpunan A dan B lepas jika dan hanya jika kedua himpunan tersebui tidak ada anggota keduanya sama, A dan B lepas biasanya ditulis (A || B)

Contoh:

a.       X = himpunan bilangan bulat positif dan Y = himpunan bilangan bulat negatif, karena anggota X tidak ada yang menjadi anggota di Y maka X dan Y dikatakan Lepas (X || Y)

b.      Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 }dan B = { 6, 7, 8, 9 }karena anggota A tidak ada yang menjadi anggota B, maka A lepas dengan B atau (A || B)

Dalam diagram Venn untuk contoh 2

(A || B)

Catatan

·         Pada betapa buku himpunan yang lepas disebut himpunan disjoint dan dinotasikan dengan (A // B).

DAFTAR PUSTAKA

• Theresia, 1992. Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teoti Himpunan. Erlangga: Jakarta
• Yunus,,Muhammad. 2007. Logika: Suatu pengarfal: yogyakana: Graha llmu
• Koesmartono & Rawuh.1983.Matematika Pendahuluan.Bandung:ITB